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Die einfache lineare Regression

Die einfache lineare Regression

Die einfache lineare Regression gilt als das Basismodell der Regressionsanalyse in der Ökonometrie. In diesem Beitrag möchten wir die einfache lineare Regression erklären. Aber was ökonometrie als Fach ist, können Sie in umserem Beitrag zum selben Thema lesen. Bei der einfachen linearen Regression geht es darum, die statistische Kausalität von zwei Faktoren (Ceteris-Paribus) in der Wissenschaft zu erklären.

Ökonomische Modell und die einfache lineare Regression

Hier werden wir ein Beispiel aus der Wirtschaftswissenschaften (Volks- und Betriebswirtschaftslehre) verwenden und zwar die Keynesianische Konsumtheorie. Wie können wir die Keynesianische Konsumtheorie mittels ökonometrischen Modelle erklären? In Fast jeden BWL und VWL-Kurs wird die keynesianische Konsumtheorie behandelt. Aber wie lässt sich diese Theorie mit beobachteten Daten in der Volkswirtschaft erklären? Viele Authoren aus der Wirtschaftswisssenshaften behandeln diese Fragen zwar theoretisch, aber wie gut lässt sich die Kausalität des Modells mit einfachen lineare Regression verifizieren? In der Keynesianischen Konsumtheorie vermütete Keynes einen positiven kausalen Zusammenhang zwischen das Einkommen- und Konsumniveau der privaten Haushalten in einer Volkswirtschaft, wenn wir anderen Faktoren konstant halten (Ceteris-Paribus). Bezeichnen wir nun das Konsumniveau $C_i$ und das Einkommensniveau $Y_i$ des Haushalts $i$. Danach unterstellen wir einen linearen (additiven) Zusammenhang zwischen Konsumnineau und das Einkommenniveau:

C_i(Y_i) =\alpha+\beta Y_i + u_i

Das heißt, dass jedes beobachtete Konsumniveau $C_i$ eines Haushalts $i$ in einen einkommensunabhängigen Anteil $\alpha$, einen einkommensabhängigen Anteil $\beta Y_i$ (statistische Kausalität) sowie einen unerklärten Anteil $u_i$ (Fehlerterm) zerlegt werden kann. Diese Zerlegung erfolgt im Rahmen eines linearen ökonometrischen Modells (das einfache lineare Regressionsmodell). Formal bedeutet das, dass wir Haushaltsdaten mit einer Stichprobengroße benötigen, um die Parameter $\alpha$ und $\beta$ des ökonometrischen Modells zu schätzen.

Parameter des einfachen linearen Regressionsmodell

Erstens, das einfach lineare Regressionsmodell muss linear in Parameter sein. D. h. die unabhängige effekte $\alpha$, die abhängige Effeke $\beta Y_i$ sowie die unerklärten Effekte $u_i$ sich additiv abbilden bzw. aufsummieren lasssen. Um in der allgemeinen Notation in der Ökonometrie zu kommen, passen wir die Schreibweise des ökonomisches Modell in der obigen Beispiel. Unser ökonometrisches Modell lautet wie folgt:

y_i=\beta_0 + \beta_1 \cdot x_i + u_i

Die unabhängige Effekte $\beta_0$, die abhängige Effeke $\beta_1 x_i$ sowie die unerklärten Effekte $u_i$ lassen sich also hier additiv abbilden bzw. aufsummieren. Zweitens bedeutet dies statistisch, dass wir für jeden Haushalt $i$ einen zufälligen Vektor $(x_i, y_i) = (Y_i, C_i)$ beobachten. Wir können wir nun die statistische Kausalität mittels des einfachen linearen Modells in einer Stichprobe der Große $n$ schätzen? Das können wir tun, wenn wir die Parameter des einfachen linearen Modells schätzen. Dabei stehen uns Mehreren Methoden zu Schätzung der Parameter $\alpha$ und $\beta$ zur Verfügung:

  • Momenten Methoden
  • Methode des kleinsten Quadrats
  • Methode der maximalen Mutmaßlichkeit (Maximum Likelyhood)

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