Funktionen erleichtern unsere logische Beschreibung sowie Verständnis von einfachen bis komplexen Zusammenhängen in der Gesellschaft, Wissenschaft, im Beruf und im Alltag. Sie lernen Funktionen im Schulfach Mathematik in der Schule bis zum Studienfach an der Universität oder als Module in verschiedenen Studiengängen in Form von Vorlesung. Warum ist das Verständnis von Funktionen so essenziell in allen unseren Lebensphasen? In diesem Beitrag möchte ich Ihnen einen Einstieg in das Thema Funktionen motivierend einführen.
Was sind Funktionen? eine Definition
Was ist eine mögliche Definition von Funktionen? Funktionen sind das Ergebnis von Zuordnungen von Mengen in der Mathematik. Die einfachste Funktion ist eine Funktion mit einer unabhängigen Variable $x$, wobei die unabhängige Menge $X$ die abhängige Menge $Y=f(x)$ zuordnet. Das Ergebnis dieser einfachen Zuordnung ist eine Paarmenge $(x, y)$, die wir in einem zweidimensionalen Koordinatensystem graphisch darstellen können.
Mathematik als Sprache der Logik versucht unsere Weltanschauung in logischen Aussagen mittels Elemente der Logik, z. B. Zahlen, Symbolen und Buchstaben, so zusammenzufassen, dass wir daraus logisches Denken erkennen können, z. B. die bivariate Analyse von zwei Merkmalen in der Statistik. Funktionen als Teilgebiet der Mathematik sind Produktmengen, die sich durch einer Zuordnungsvorschrift erklären, wie eine Menge einer anderen Menge zugeordnet werden kann.
Paarmengen, Produktmengen, Zuordnungen und Zuordnungsvorschriften
Die kleinstmögliche Zuordnung in der Mathematik ist die Zuordnung von zwei Mengen (oder Paarmenge), z. B. Jeden Monat eines Jahres ordnet eine bestimmte Anzahl von Kundenanfragen in einem Unternehmen innerhalb eines Jahres. Einerseits hätten wir die Menge der Monate innerhalb eines Jahres und andererseits die Menge der monatlichen Kundenanfragen innerhalb eines Jahres.
Die Produktmenge entsteht dadurch, dass mindestens eine unabhängige Menge, z. B. Preise und Bestellmenge eines Gutes, eine abhängige Menge zuordnen, z. B. Umsatz von Kunden bei einer Bestellung. Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen sind das Ergebnis von Produktmengen. Das bedeutet, dass eine Paarmenge die kleinstmögliche Produktmenge darstellt. In unserem Beispiel hätten wir eine Produktmenge der Ordnung 3 mit der Menge der Preise der Güter, der Menge der Bestellmenge (Anzahl eines Produkteinheit) und die Menge des resultierenden Umsatzes des Produktes eines Unternehmens. Der Begriff Produkt bedeutet hier ein von unternehmen hergestellten Gut oder Dienstleistung und sollte nicht mit dem Begriff Produktmenge nicht verwechselt werden.
Eine Zuordnungsvorschrift in der Mathematik beschreibt die logische Herangehensweise, wie eine Menge eine andere Menge zuordnet. Dabei werden verschiedenen Funktionstypen verwendet.
Allgemeine Funktionstypen für Wirtschaftsschule und Wirtschaftsstudium
Funktionstypen können als Zuordnungsvorschriften in der Mathematik verstanden werden, die einen bestimmten allgemeingültigen Ansätzen der Mathematik erfüllen, z. B. die allgemeine Potenzfunktion, die als Basis für die ganzrationalen Funktionen (Polynome) und gebrochen-rationale Funktionen (Quotienten von zwei Polynomen) in der Horner-Schema dienen, Würzelfunktion, Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen, trigonometrische Funktionen. Zusammengefasst werden Sie in der Schule und Studium mit folgenden Funktionen konfrontiert:
- Algebraische Funktionen (implizite Polynomen)
- Potenzfunktion
- Ganzrationale Funktionen (Polynomen)
- Würzelfunktionen
- Exponentialfunktionen
- Logarithmusfunktionen
- Trigonometrische Funktionen
Funktionen mit einer unabhängigen Variable
In unserem obigen Fall benötigen wir zwei Mengen, um die allgemeine Funktion mit einer abhängigen Variable zu definieren. Gehen wir von zwei Mengen $X\in \mathbb{R} $ und $Y \in \mathbb{R}$ aus und dass die Menge $X\in \mathbb{R} $ die Menge $Y \in \mathbb{R}$ durch die Zuordnungsvorschrift, z. B ein Polynom ersten Grades, die die Menge $X\in \mathbb{R} $ verdoppelt um auf die Menge $Y \in \mathbb{R}$ zu gelangen. Die Verdoppelung der Menge $X\in \mathbb{R} $ wäre hier die Zuordnungsvorschrift für die lineare Funktion, die durch den Ursprung geht und eine Steigungsdreieck mit zwei Höheeinheiten auf einem zweidimensionalen Koordinatensystem darstellen lässt.
f(x)=2\cdot x
\text{mit} \ x \in \mathbb{R} \ \text{und} \ y=f(x) \in \mathbb{R}Das Ergebnis sind unendlichen Anzahl von Paarmengen, z. B. $A(0, 0), B(1, 2) C(-2,-4)$, als Koordinatenpunkten einer linearen Funktion (Polynom ersten Grades). Das gleiche können wir auch mit einer Zuordnungsvorschrift eines anderen Funktionstyps darstellen. Die Schulbildung erreicht dieses Niveau der Mathematik.
Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen
Explizit im Studium und eigentlich spätesten bzw. implizit in der Schule (Vektorgeometrie bei der Analyse von dreidimensionalem Raum, Pythagoras-Satz) werden wir mit Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen konfrontiert. Ein rechtwinkliges Dreieck hat drei Seiten, wovon die Länge einer Seite in Abhängigkeit der anderen zwei Kantenlängen dargestellt werden kann, sprich Pythagoras-Satz, z. B. die Länge der Hypotenuse $c \in \mathbb{R} $ eines rechtswinkligen Dreiecks lässt sich durch folgende Funktion darstellen, die von der Länge der Ankathete $a \in \mathbb{R} $ und Gegenkathete $b \in \mathbb{R} $ abhängig ist, die in einem bestimmten Winkeln der Katheten mit der Hypotenuse bilden:
c(a, b)=\sqrt{a^2+b^2}Prüfungsvorbereitung Mathematik für Wirtschaftswissenschaften und Abitur
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