Allgemeine Potenzfunktion

Einer der wichtigste Funktionstype in der Mathematik ist die allgemeine Potenzfunktion. Fürs Studium und die Schule sollte die Studierenden und Schülerinnen die allgemeinen Eigenschaften der Potenzfunktion beherrschen. In diesem Beitrag möchten wir die Grundlagen der Potenzfunktion vorstellen, die Sie für den Kurs Mathematik und Abiturvorbereitung benötigen.

Die Allgemeine Potenzfunktion: Definition

Die Potenzfunktion nimmt allgemein folgende Form an:

f(x)=a \cdot x^{n}

Mit der reellen Zahl $a$ als Streckungsfaktor und Spiegelung durch die X-Achse, natürlichen Zahl $n$ als Hochzahl und der Term $x^{n}$ als Potenz von Grad $n$, z. B. $f(x)=3x^{4}$ ist eine Potenzfunktion von Grad 4, die um Faktor 3 gestreckt ist und oberhalb der X-Achse verläuft. Davor sollten Sie sich mit der allgemeinen Definition von Funktionen vertraut machen.

Funktionseingeschaften der Potenzfunktion

Die Potenzfunktionen lassen sich in zwei groben Kategorien eingliedern; Potenzfunktionen mit gerader Hochzahl und Potenzfunktionen mit ungerader Hochzahl, und gibt Auskunft über die Symmetrieeigenschaften der Potenzfunktion.

Definitionsbereich der Potenzfunktion

Die Potenzfunktion ist für alle reellen Zahlen definiert, d.h.

D_{f}: x \in \mathbb{R}

Achsensymmetrische Potenzfunktionen und Wertebereich

Potenzfunktionen mit ungerader Hochzahl sind achsensymmetrisch zur Y-Achse, d. h.:

f(x)=f(-x) \in \mathbb{R} \setminus \ (x<0)\ \text{für} \ a>0 \\ n \in \mathbb{N} \\ \text{und ist eine gerade Zahl}

Somit ist die Potenzfunktion mit gerader Hochzahl in ihrer Wertebereich entweder nach unten (Minimum) oder nach oben (Maximum) beschränkt.

Punktsymmetrische Potenzfunktionen und Wertebereich

Potenzfunktionen mit ungerader Hochzahl sind Punktsymmetrisch zum Ursprung $O(0, f(0))$ und die Wertebereich entsprich alle reellen Zahlen, d. h.:

f(-x)=-f(x) \in \mathbb{R}  \\ n \in \mathbb{N} \\ \text{und ist eine ungerade Zahl}

Ableitung der Potenzfunktion: Potenzregel der Ableitung

Die Potenzfunktion lässt sich wie folgt ableiten:

f'(x)=a \cdot n \cdot x^{(n-1)}

Literaturempfehlung