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Ableitungsregeln von Funktionen

Ableitungsregeln von Funktionen

Die Kenntnis der Ableitungsregeln von Funktionen ist wichtig für die Anwendung der Mathematik in allen Wissenschaften. In unserem Fall spielt die Anwendung von Ableitungsregeln eine große Rolle bei der Interpretation von Wirtschafts- und Geschäftsmodellen. In diesem Artikel stellen wir Ihnen einige der grundlegenden Ableitungsregeln vor, die Sie für Ihre Analyse in Ihrem Wirtschaftsstudium beherrschen sollten.

Ableitungsregeln von Funktionen in der Mathematik - Differenzialrechnung

Ableitungsregeln gelten für verschiedene grundlegende Funktionen in der Mathematik und legen fest, wie wir die allgemeine Form mathematischer Funktionen ausnutzen können, um die funktionale Form der Ableitung einer Funktion zu finden. Die allgemeine Form der Ableitungsregeln finden Sie in der meisten mathematischen Literatur. In diesem Artikel werden wir Ihnen die folgenden Ableitungsregeln für Funktionen mit einer unabhängigen Funktion vorstellen:

  • Konstantregel
  • Potenzregel
  • Faktorregel
  • Summenregel
  • Produktregel
  • Quotientenregel
  • Kettenregel
  • Regeln der Exponentialfunktionen
  • Regeln der Logarithmusfunktionen

Warum müssen Sie also wissen, wie man die Ableitung einer Funktion berechnet?

Die Ableitung einer Funktion erklärt die infinitesimale Änderung der abhängigen Variablen einer Funktion, wenn die Änderung der unabhängigen Variablen gegen Null konvergiert. In diesem Fall suchen wir nach der marginalen Änderung der abhängigen Variablen, wenn die abhängige Variable um eine Einheit steigt.

Wie kommen Sie von der Sekantensteigung zur Tangengensteigung?

Erstens formulieren Sie mathetische Aussage für die durchschnittliche Steigung einer funktion zwischen zwei Koordinatenpunkte $A(x_0 | f(x_0))$ und $B(x_0 +\Delta x | f(x_0+\Delta x))$. Das ist genau die Sekantensteigung einer Funktion zwischen zwei Punkten, $A$ und $B$, ein einer Fuktion:

\frac {\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

Im zweiten Schritt definieren Sie die Grenzwertsatz für die Sekantensteigung. Die Grenzfall der Sekantensteigung beschreibt die Tagentensteigung der Funktion and der Stelle $x_0$.

f'(x_0)= \lim \limits_{ \Delta x \to 0} \frac {\Delta f(x)}{\Delta x} = \lim \limits_{ \Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

Konstantregel für konstante Funktion $f(x)=C$

Konstantregel für Konstante Funktionen $f(x)=C$ mit $C$ als Konstante lautet:

f'(x)=0 \\ \text{wegen} \\ f'(x_0)= \lim \limits_{ \Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\frac{0}{\Delta x} =0

Beispiele für konstante Funktionen in der Volkswirtschaftslehre und Betriebswirtschaftslehre sind Fixkostenfunktionen, die Kosten $K_f(x)=C$ beschreiben, die nicht vom Produktionsniveau abhängig sind. Durch die Anwendung von Ableitungsbedingungen für konstante Funktionen argumentieren Wirtschaftswissenschaftler, dass sich feste Kosten nicht direkt auf unsere Grenzkostenentscheidung $K'(x)=K'_v(x)$ auswirken. Wir werden lernen, dass auch die durchschnittliche Funktionsänderung bei der Kostenanalyse berücksichtigt werden muss.

Potenzregel für Potenzfunktion $f(x)=x^n$

Die Potenzregel für die Potenzfunktion $f(x)=x^n$ mit $n$ als Potenz lautet:

f'(x)=nx^{(n-1)}

Faktorregel für allgemeine Funktionen $f(x)=C \cdot g(x)$

Die Faktorregel für allgemeine Funktionen $f(x)=C \cdot g(x)$ mit $C$ als Konstante lautet:

f'(x)=C \cdot g'(x)

Summenregel für allgemeine Funktionen $f(x)=g(x) \pm h(x)$

Die Summenregel für allgemeine Funktionen $f(x)=g(x) \pm h(x)$ wird bei Ableitung der Addition und Substratktion von zwei Summanden wie folgt angewandt:

f'(x)=g'(x) \pm h'(x)

Produktregel für allgemeine Funktionen $f(x)=u(x) \cdot v(x)$

Die Produktregel der Abletung für allgemeine Fuktionenen $f(x)=u(x) \cdot v(x)$ wird dann angewandt, wenn eine multiplikative Form der Funktion erkennbar ist und lautet:

f'(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)

Quotientenregel für allgemeine Funktionen $f(x)=\frac{u(x)} {v(x)}$

Quotientenregel für allgemeine Funktionen $f(x)=\frac{u(x)} {v(x)}$ wird dann angewandt, wenn ein Quotient oder Brüch in der Funktionsform erkennbar ist und lautet:

f'(x)=\frac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)} {v(x)^2}

Kettenregel für allgemeine Funktionen $f(x)=f(g(x))$

Kettenregel für allgemeine Funktionen $f(x)=f(g(x))$ wird angewandt, wenn eine Verkettungsreihenfolgen der Funktionsform erkennbar ist und lautet:

f'(x)=f'_g \cdot g'(x)) \\ \text {mit} \ f'_g \ \text{als die Ableitung der Funktion} \ f(g) \ \text{nach} \ g

Ableitungsregel der Expontialfunktion $f(x)=e^x$

Ableitungsregel der Expontialfunktion $f(x)=e^x$ lautet:

f'(x)=e^x

Vorsicht bei der Anwendung der Ableitungsregel für die Exponentialfunktion. Die Ableitungsregel ist empfindlich gegenüber der Positivität der Potenz. Der richtige Weg die Exponentialfunktion abzuleiten ist die Kettenregel der Ableitung zu verwenden.

Ableitungsregel der Logarithmusfunktion $f(x)=\ln(x)$

Albeitungsregel der Logarithmusfunktion $f(x)=\ln(x)$ lauten:

f'(x)=\frac{1}{x}

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