Ganzrationale Funktion n-ten Grades

Horner-Schema besteht. Lernen Sie die Grundlagen von Polynomen n-ter Ordnung bzw. n-ten Grades (ganzrationale Funktionen) mit diesem Beitrag. Definieren lässt sich eine ganzrationale (oder polynom n-ter Ordnung, oder n-ten Grades) Funktion n-ten Grades $f$ mit der folgenden Gleichung (Horner-Schema) aus Summanden von Potenztermen $a_ix^i$:

f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i 

wobei $n \ge 0$ der Anzahl der Summanden vom Polynom n-ten Grades ist, $a_1 \not\neq 0$ Koeffizienten aus ganzen Zahlen sind und $x \in R$. Die ganzrationale Funktion n-ten Grades wird in der Wirtschaftswissenschaften, Volkswirtschaftslehre und Betriebswirtschaftslehre verwendet, um bestimten Sachverhalten zu veranschaulichen. Nehmen wir an, dass $x$ die Beschäftigungsniveau eines Betriebs in Produzierten Einheit eines Outputs beschreibt. Sie sind Abiturient/-in (Wirtschaftsgymnasium) und brauchen die Grundlagen nochmal? Das Thema kömmt im Fachbereich Mathematik vor. In diesem Blogartikel lernen Sie, wie eine ganzrationale Funktion formal beschrieben und in praktischen Welt verwendet wird.

Konstante Funktion als Polynom von Grad 0

Bei der betrieb- und volkswirtschaftlichen und Analysen wird die kostante Funktion verwendet, z. B. Fixkosten darzustellen. Für $n=0$ gilt

f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i  f(x)=a_0x^0  f(x)=a_0 \cdot1  f(x)=a_0

mit $a_0\geq0$. Fixkosten in Höhe von $a_0=K_f$ fallen in einem Betrieb an. Die Kostenfunktion $K(x)$ lautet:

K(x)=K_f

Di Fixkostenfunktion kann als eine ganzrationale Funktion von Grad 0 definiert werden.

Lineare Funktion als Polynom von Grad 1

In der Regel verursachen Unternehmen auch Kosten, die Abhängig von der Beschäftigungsniveau $x$, auch als variable Kosten $K_v(x)$ genannt. Nehmen wir an, dass die variable Kosten mit kostanten Steigung $a_1$ steigen, wenn die Beschäftigungsniveau $dx=1$ um eine Einheit erhöht wird. Gehen wir nun zurück zur ursprünglichen Gleichung $f(x)$ und definieren $n=1$. Es folgt:

f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i  f(x)=a_0x^0+a_1x^1  f(x)=a_0 \cdot 1+a_1x  f(x)=a_0+a_1x

In der Schule habe Sie das obige Endergebnis als eine lineare Funktion bezeichnet und wiefolgt definiert:

f(x)=ax+b

mit $a=a_1$ als Steigungsparameter und $b=a_0$ als Schnittpunkt mit der y-Achse. Kehren zurück zum Unternehmen und die Kostenfunktion $K(x)$, erhalten wir:

K(x)=K_v(x)+K_f  K(x)=ax+b

Die Kostenfunktion besteht als der variablen Kosten $K_v(x)=ax$ und Fixkosten $K_f=b$.

Parabel, Quadratische Funktion als Polynom von Grad 2

Ein Mitarbeiter aus der Fertigung vermütet, dass die Kostenstruktur eher einen parabel-artigen Verlauf entspreche und nicht linear. Um eine solche Kostenstruktur darzustellen, formulieren wir eine ganzrationale Fuktion von Grad 2 bzw. ein Parabel:

f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i \ \text{mit} \ n=2  f(x)=a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2  f(x)=a_0 \cdot 1+a_1x+a_2x^2  f(x)=\underbrace{ a_0}_{K_f}+\underbrace{a_1x+a_2x^2}_{K_v(x)}

mit Fixkosten $K_f=a_0$ und variable Kosten $K_v(x)=a_2x^2+a_1x$. Natürlich wäre es möglich weitere ganzrationale Funktionen von beliebigen Grad $n$ zu definieren. In der Schule wird die Parabel bzw. quadratische Funktion wie folgt beschrieben:

f(x)=ax^2+bx+c

Wenn die Parabel durch den Ursprung geht, gilt, dass $c=2$ und lautet:

f(x)=ax^2+bx=(ax+b)x

Eine solche Parabelgleichung hat zwei Nullstellen $N_1 (0 | 0)$ und $N_1 ( \frac{-b}{a} | f( \frac{-b}{a}) )$. Mehr erfahren Sie in unsere Prüfungsvorbereitung und weitere Blogartikeln z. B. die Parabel einfach erklärt.

Polynom, ganzrationale Funktion von Grad 3, Kubische Funktion

Ein Mitarbeiter aus der Fertigung vermütet, dass die Kostenstruktur eher einen kubischen Verlauf entspreche und nicht parabel-artig. Um eine solche Kostenstruktur darzustellen, formulieren wir eine ganzrationale Funktion von Grad 3 bzw. eine kubischen Funktion:

f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i \ \text{mit} \ n=3   f(x)=a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2 +a_3 x^3  f(x)=a_0 \cdot 1+a_1x+a_2x^2 +a_3 x^3  f(x)=\underbrace{ a_0}_{K_f}+\underbrace{a_1x+a_2x^2++a_3 x^3}_{K_v(x)}

Eine Solche Kostenfunktion beschreibt in den meisten Fälle einen S-Formigen Kostenstuktur. In der Schule wird die kubische bzw. ganzrationale Funktion von Grad 3 wie folgt beschrieben:

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

Polynom, Ganzrationale Funktion von Grad 4

Setzen wir für $n=4$ in der allgemein Gleichung der ganrationalen Funktion erhalten wir die allegemein Funktion des Polynoms 4. Grades.

f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i \ \text{mit} \ n=4   f(x)=a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2 +a_3 x^3 +a_4 x^4  f(x)=a_0 \cdot 1+a_1x+a_2x^2 +a_3 x^3 +a_4 x^4  f(x)=\underbrace{ a_0}_{K_f}+\underbrace{a_1x+a_2x^2++a_3 x^3 +a_4 x^4}_{K_v(x)}

In der Schule wird die kubische bzw. ganzrationale Funktion von Grad 4 wie folgt beschrieben:

f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e