Ableitungsregeln von Funktionen

Die Kenntnis der Ableitungsregeln von Funktionen ist wichtig für die Anwendung der Mathematik in allen Wissenschaften. In unserem Fall spielt die Anwendung von Ableitungsregeln eine große Rolle bei der Interpretation von Wirtschafts- und Geschäftsmodellen. In diesem Artikel stellen wir Ihnen einige der grundlegenden Ableitungsregeln vor, die Sie für Ihre Analyse in Ihrem Wirtschaftsstudium beherrschen sollten.

Ableitungsregeln von Funktionen in der Mathematik – Differenzialrechnung

Ableitungsregeln gelten für verschiedene grundlegende Funktionen in der Mathematik und legen fest, wie wir die allgemeine Form mathematischer Funktionen ausnutzen können, um die funktionale Form der Ableitung einer Funktion zu finden, z. B. Ganzrationale Funktionen, Exponentialfunktionen. Die allgemeine Form der Ableitungsregeln finden Sie in der meisten mathematischen Literatur. In diesem Artikel werden wir Ihnen die folgenden Ableitungsregeln für Funktionen mit einer unabhängigen Funktion vorstellen:

• Konstantregel
• Potenzregel
• Faktorregel
• Summenregel
• Produktregel
• Quotientenregel
• Kettenregel
• Regeln der Exponentialfunktionen
• Regeln der Logarithmusfunktionen

Warum müssen Sie also wissen, wie man die Ableitung einer Funktion berechnet?

Die Ableitung einer Funktion erklärt die infinitesimale Änderung der abhängigen Variablen einer Funktion, wenn die Änderung der unabhängigen Variablen gegen Null konvergiert. In diesem Fall suchen wir nach der marginalen Änderung der abhängigen Variablen, wenn die abhängige Variable um eine Einheit steigt.

Wie kommen Sie von der Sekantensteigung zur Tangengensteigung?

Erstens formulieren Sie mathetische Aussage für die durchschnittliche Steigung einer funktion zwischen zwei Koordinatenpunkte $A(x_0 | f(x_0))$ und $B(x_0 +\Delta x | f(x_0+\Delta x))$. Das ist genau die Sekantensteigung einer Funktion zwischen zwei Punkten, $A$ und $B$, ein einer Fuktion:

\frac {\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

Im zweiten Schritt definieren Sie die Grenzwertsatz für die Sekantensteigung. Die Grenzfall der Sekantensteigung beschreibt die Tagentensteigung der Funktion and der Stelle $x_0$.

f'(x_0)= \lim \limits_{ \Delta x \to 0} \frac {\Delta f(x)}{\Delta x} = \lim \limits_{ \Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

Konstantregel für konstante Funktion

Konstantregel für Konstante Funktionen $f(x)=C$ mit $C$ als Konstante lautet:

f'(x)=0

\text{wegen} \ f'(x_0)= \lim \limits_{ \Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

\text{und} \ f'(x_0)=\frac{C-C}{\Delta x} =0

Beispiele für konstante Funktionen in der Volkswirtschaftslehre und Betriebswirtschaftslehre sind Fixkostenfunktionen, die Kosten $K_f(x)=C$ beschreiben, die nicht vom Produktionsniveau abhängig sind. Durch die Anwendung von Ableitungsbedingungen für konstante Funktionen argumentieren Wirtschaftswissenschaftler, dass sich feste Kosten nicht direkt auf unsere Grenzkostenentscheidung $K'(x)=K’_v(x)$ auswirken. Wir werden lernen, dass auch die durchschnittliche Funktionsänderung bei der Kostenanalyse berücksichtigt werden muss.

Potenzregel für Potenzfunktion

Die Potenzregel für die Potenzfunktion $f(x)=x^n$ mit $n$ als Potenz lautet:

f'(x)=nx^{(n-1)}

Zum Beispiel sollten Sie folgende Potenzfunktion $f(x)=x^2$ ableiten, dann folgt daraus $f'(x)=2x$ mit $n=2$.

Faktorregel für allgemeine Funktionen

Die Faktorregel für allgemeine Funktionen $f(x)=C \cdot g(x)$ mit $C$ als Konstante lautet:

f'(x)=C \cdot g'(x)

Zum Beispiel sollten Sie folgenden Potenzfunktion $f(x)=3x^2$ ableiten, dann folgt daraus $f'(x)=3 \cdot 2x=6x$ mit $C=3$ und $n=2$.

Summenregel für allgemeine Funktionen

Die Summenregel für allgemeine Funktionen $f(x)=g(x) \pm h(x)$ wird bei Ableitung der Addition und Substratktion von zwei Summanden wie folgt angewandt (Siehe Grundregeln der Addition):

f'(x)=g'(x) \pm h'(x)

Zum Beispiel sollten Sie folgenden Potenzfunktion $f(x)=3x^2+5x$ ableiten, dann folgt daraus $f'(x)=6x+5$. Hier brauchen Sie Potenzregel, Faktorregel und Summenregel aus äußerer Form der Funktion.

Produktregel für allgemeine Funktionen

Die Produktregel der Abletung für allgemeine Fuktionenen $f(x)=u(x) \cdot v(x)$ wird dann angewandt, wenn eine multiplikative Form der Funktion erkennbar ist und lautet:

f'(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)

Quotientenregel für allgemeine Funktionen

Quotientenregel für allgemeine Funktionen $f(x)=\frac{u(x)} {v(x)}$ wird dann angewandt, wenn ein Quotient oder Brüch in der Funktionsform erkennbar ist und lautet:

f'(x)=\frac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)} {v(x)^2}

Kettenregel für allgemeine Funktionen

Kettenregel für allgemeine Funktionen $f(x)=f(g(x))$ wird angewandt, wenn eine Verkettungsreihenfolgen der Funktionsform erkennbar ist und lautet:

f'(x)=f'_g \cdot g'(x)) \\ \text {mit} \ f'_g \ \text{als die Ableitung der Funktion} \ f(g) \ \text{nach} \ g

Ableitungsregel der Exponentialfunktion

Ableitungsregel der Exponentialfunktion $f(x)=e^x$ lautet:

f'(x)=e^x

Vorsicht bei der Anwendung der Ableitungsregel für die Exponentialfunktion. Die Ableitungsregel ist empfindlich gegenüber der Positivität der Potenz. Der richtige Weg die Exponentialfunktion abzuleiten ist die Kettenregel der Ableitung zu verwenden. Zum Beispiel bei einer Exponentialfunktion der Form $f(x)=e^{ax}$ lautet die Ableitung über den Kettenregel wie folgt:

f'(x)=e^{ax}\cdot a =a \cdot e^{ax}

Ableitungsregel der Exponentialfunktion beliebiger Basis

Ableitungsregel der Exponentialfunktion $f(x)=a^x=e^{x \cdot \ln(a)}$ beliebiger Basis nach der Transformation in natürlichen Basis und Anwendung der Kettenregel lautet:

f'(x)=\ln(a) \cdot a^x

Ableitungsregel der Logarithmusfunktion

Albeitungsregel der Logarithmusfunktion $f(x)=\ln(x)$ lauten:

f'(x)=\frac{1}{x}

Hier gilt auch die Kettenregel entsprechend, z. B. für $f(x)=\ln(ax^{b})$:

f'(x)=\frac{1}{ax^{b}}\cdot (a \cdot b \cdot x^{(b-1)})=\frac{b}{x}

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