Drei Mittelwerte

In diesem Beitrag lernen Sie drei Mittelwerte, die in der deskriptiven Statistik berechnet und angewendet werden. Ein Mittelwert zeigt die zentrale Lage der beobachteten Merkmalsausprungen eines Merkmals in einer Stichprobe von $n$ statistischen Einheiten. Drei Typen von statistischen Mittelwerten, die Sie kennen sollten und ihren Anwendung verstehen solten, werden hier erklärt.

Drei Mittelwertstypen

Die drei Typen von statistischen Mittelwerten sind:

• Arithmetisches Mittelwert
• Geometrisches Mittelwert
• Harmonisches Mittelwert

Datenreihe und Stichprobe

Bei der durchführung von statistischen Analysen greifen Forscher häufig auf Mittelwerte, aber welcher Mittelwert sollten Sie wann verwenden und wie interpretieren? Je nach Merkmal und Meßniveau entscheidet sich of es sinnvoll ist ein Mittelwert als Lageparameter zu berechenen. Die drei Typen von statistischen Mittelwerten sind die meistverwendeten Mittelwerten in der Wirtschaftswissenschaften. Anderen Fachbereiche haben Ihren Spezialitäten.

Die Basis für die Berechnung von Mittelwert ist eine Datenreihe (bzw. Stichprobe) von $n$ Beobachtungen in eine Uhrliste für eine Merkmal $X$:

X= \left( x_{1}, x_{2}, x_{3}, ...,  x_{n} \right) \ \text{mit} \ n \ \text{als Stichprobengroße}

Arithmetisches Mittelwert

Das arithmetische Mittelwert ist das bekannteste Mittelwert bei der Auswertung von Daten in der Statistik. Definiert wird das arithmetische Mittelwert als die gewichtete Summe der Mermalsausprägungen eines Merkmals in einer Stichprobe von $n$ statistischen Einheiten:

\bar X = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}= \frac{1}{n}(x_{1} +x_{2}+x_{3} ... + x_{n})

Dazu sollten Sie hier oben beachten, dass mit dem Eingangsformel $\bar X = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}$ bestimmen Sie das ungewichtete arithmetische Mittelwert. Und sie ist deswegen ungewichtet, weil Sie jeden Merkmalsausprägung einzeln summieren und am Ende mit der Stichprobengröße $n$ teilen. Um die Berechnung davon zu vereinfachen, können Sie ähnliche Merkmalsausprägungen in $k$ Gruppen gruppieren und die absolute Häufigkeit $n_{i}$ bei der Berechnung des arithmetischen Mittelwerts verwenden.

\bar X = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k}n_{i} x_{i}=  \frac{1}{n}(n_{1}x_{1} +n_{2}x_{2}+n_{3}x_{3} ... +n_{k} x_{k})

Eine weitere Vereinfachung der Berechnung ist möglich, wenn wir den Bruch $\frac{1}{n}$ in der Summe nehmen und das Verhältnis der absoluten Häugigkeit $n_{i}$ zur Stichprobengröße mit der relativen Häfigkeit $(\frac{n_{i}}{n}=h_{i})$ ersetzen.

\bar X = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k}n_{i} x_{i}=\sum_{i=1}^{k} \frac{n_{i}}{n} x_{i}= \sum_{i=1}^{k} h_{i} x_{i}= (h_{1}x_{1} +h_{2}x_{2}+h_{3}x_{3} ... +h_{k} x_{k})

Das arithmethische Mittelwert hat besondere Eigenschaften, die Konsequenzen für die Anwendung von statistischen Methoden hat.

Geometrisches Mittelwert (Geomittel)

Das geometrische Mittelwert (Geomittel) $\bar X_{geo}$ können Sie dann angewendet, wenn Ihre Daten wachstumsbehaftet sind oder eine Zeitreihe darstellen sollten.

\bar X_{geo} = \sqrt[n]{(x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} ... \cdot x_{n})}

In der Wirtschaftswissenschaften werden häufig Zeitreihen untersucht, z. B. das Bruttoinlandsprodukt, Arbeitslosenquote, Inflation, Preisniveau, …, etc. Deshalb ist es wichtig bei der Berechnung von Mittelwert von Zeitreihen auf die Interpretationsfähigkeit und Schätzfehler von arithmetischen Mittelwerten zu achten. Bei Zeitreihen interessieren wir uns für durchschnittlichen Wachtumsraten und Änderungsraten. Nehmen wir nun Logarithmus vom geometrischen Mittelwerr, erhalten wir folgendes:

\ln{(\bar X_{geo})}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \ln{(x_{i})}

Harmonisches Mittelwert

Das harmonische Mittelwert $\bar X_{ham}$ kann verwendet werden, wenn wir Verhältnisse analysieren, z. B. die durchschnittliche Geschwindigkeit eines Objekts. Harmonisches Mittelwert können wir als das Kehrwert des arithmetisches Mittelwert der Kehrwert einer statistischen Reihe definieren.

\bar X_{ham} = \frac {n}{\sum_{i=1}^{k}n_{i} (\frac{1}{x_{i}})} =\frac {1}{\sum_{i=1}^{k}h_{i} (\frac{1}{x_{i}})}

Harmonisches Mittelwert lässt sich nur berechnen, wenn wir sowohl negative Werte und Null als Wert ausschließen. Um das harmonische Mittel zu berechnen, sollten Sie diesen Schritten durchführen:

• Bilden Sie die Kehrwerte der Beobachtungen
• Danach berechnen Sie das arithmetische Mittelwert der Kehrwerte der Beobachtungen
• Als letzter Schritt sollten Sie die Kehrwert des Ergebnisses in Schritt 2 berechnen. Das Ergebnis ist das harmonisches Mittelwert der Beobachtungen

Vergleich der drei Mittelwerten

Gehen Sie von einer Datenreihe mit positiven Werten aus und berechnen Sie die drei Mittelwerten. Sie werden feststellen, dass das harmonische Mittelwert kleiner als das geometrische Mittelwert ist. Zweiten ist das arithmetisches Mittelwert das stets großer als das geometrische Mittelwert.

\bar X_{ham}<\bar X_{geo}<\bar X

Literaturvorschlag für Statistik für VWL und BWL