Lageparameter in der Statistik sind die wichtigsten Kennzahlen, die sich aus einer Stichprobe in der Statistik herleiten lassen. Die Lageparameter geben nicht nur die mittlere Lage der Stichprobe an, sondern auch die damit verbundene Wahrscheinlichkeit die Merkmalsausprägungen zu beobachten. In diesem Beitrag behandeln wir die Mittelwerte, Modalwert, Median, Quartil, Dezile, Perzentile und Quantile.
Die Drei Mittelwerte als Lageparameter in der Statistik
Die drei Mittelwerte als Lageparameter in der Statistik helfen uns die mittlere Lage einer Merkmalsausprägung zu erklären. Mit der drei Mittelwerte sind folgende Mittelwerte gemeint:
- Arithmetischer Mittelwert für arithmetische Reihen z. B. Distanzen
- Harmonischer Mittelwert für harmonische Reihen z. B. Geschwindigkeiten
- Geometrischer Mittelwert für geometrische Reihen z. B. Beschleunigung und Wachstumsprozessen
Das heißt beispielweise, dass der arithmetische Mittelwert die mittlere Lage der Markmalausprägungen des Merkmals Distanz zwischen zwei Ziele erklären kann. Geeignet für die Schätzung der Geschwindigkeiten zwischen zwei Zielen wäre der harmonische Mittelwert und der Geomittel würde dich änderungsrate der Geschwindigkeit und Wachtumsprozessen besser erklären. Denn die Beschleunigung eines Körpers ist die momentane Veränderung der Geschwindigkeit in der nächsten Zeiteinheit. Solche Wachstumsprozessen sind besser vom Geomittel der als mittlere Lage besser erklärt. Es ist also äußerst wichtig die Anwendung der drei Mittelwerten zu verstehen. Vergewissern Sie sich auch, dass Sie mit den Grundregeln der Arithmetik vertraut sind
\bar X_{h} < \bar X_{g} < \bar X \\ \text{mit} \\ \bar X=\sum_{i=1}^{n} P(X_i) \cdot X_i \\ \text{als Arithmethischer Mittelwert, und} \\ \bar X_{h}=\frac{1}{\sum_{i=1}^{n} P(X_i) \cdot \frac{1}{X_i} } \\ \text{ als Harmonischer Mittelwert, sowie} \\ \bar X_{g}= \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}X_{i}} \\ \text{ als Geometrischer Mittelwert}In der Regel ist der harmonische Mittelwert einer Datenreihe kleiner als Geomittel und der Geomittel kleiner als den arithmetischen Mittelwert, wenn alle $ X_{i}>0 $.
Modalwert
Der Modalwert als Lageparameter in der Statistik können wir erst bei der Betrachtung der Häufigkeit eines Merkmalsausprägung erkennen. Denn wir fragen uns, welcher Merkmalausprägung am häufigste in der Stichprobe zu beobachten ist. D. h. der Modelwert gibt die am häufigsten auftretende Merkmalswert in einer Stichprobe an.
P(X_{mod}) > \forall P(X_{i}) \ \text {mit} \ X_{mod} \ne X_{i}Median
Der Median giblt als Lageparameter in der Statistik die mittere Lage in Wahrscheinlichkeit an. D. h. der Median teilt die Wahrscheinlichkeit bzw. relative Häufigkeit in zwei gleichen Hälften. Sowohl das linkseitige als auch das rechtzeitige Interval von Median hat eine 50 prozentige Wahrscheinlichkeit.
P(X \le X_{med})=0,5Quartil
Ein Quartil als Lageparameter in der Statistik teilt die totale Wahrscheinlichkeit in 4 gleichen Teilen mit je 25 Prozent Intervalswahrscheinlichkeit der Beobachtungsinterval. Der Median gilt auch als das zweite Quartil. Die Quartilsgrenzen zeigen die rechtzeitigen Überschreigungsgrenzen der Intervalswahrscheinlichkeit eines Quartils.
P(X \le X_{Q1})=0,25 \\ P(X \le X_{Q2})=0,5 \\ P(X \le X_{Q3})=0,75 \\ P(X \le X_{Q4})=1Dezil
Ein Dezil als Lageparameter in der Statistik teilt die totale Wahrscheinlichkeit in 10 gleichen Teilen mit je 10 Prozent Intervalswahrscheinlichkeit.
P(X \le X_{0,1})=0,1 \\ P(X \le X_{0,2})=0,2 \\ P(X \le X_{0,3})=0,3 \\ P(X \le X_{0,4})=0,4 \, ...Perzentil
Ein Perzentil als Lageparameter in der Statistik teilt die totale Wahrscheinlichkeit in 100 gleichen Teilen mit je 1 Prozent Intervalswahrscheinlichkeit.
P(X \le X_{0,01})=0,01 \\ P(X \le X_{0,02})=0,02 \\ P(X \le X_{0,03})=0,03 \\ P(X \le X_{0,04})=0,04 \, ...Quantil
Ein Quantil als Lageparameter in der Statistik teilt die totale Wahrscheinlichkeit in beliebigen Teil mit je $0 \le q \le 1$ Prozent Intervalwahrscheinlichkeit.
P(X \le X_{0,001})=0,001 \\ P(X \le X_{0,025})=0,025 \\ P(X \le X_{0,05})=0,05 \\ P(X \le X_{0,64})=0,64 \, ...,\\ P(X \le X_{q})=qLiteratur
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