Optimierungsproblem in der Mikroökonomie lösen

Hier lernen Sie, wie Sie ein Optimierungsproblem in der Mikroökonomie lösen können. Für die Studierende im Fach Mikroökonomie haben wir einen Leitfaden für Mikroökonomie gefertigt, als Wegweiser für die Lösung von Aufgaben in Klausuren und Prüfungen. In unsere Lehrveranstaltungen und Prüfungsvorbereitungen erhalten Sie einen tieferen Einblick, wie Sie den Leitfaden für Mikroökonomie bei der Lösung von Aufgaben einsetzen können.

Wie Sie ein Optimierungsproblem in der Mikroökonomie lösen

Studierenden in Wirtschaftswissenschaften (Betriebswirtschaftslehre, Volkswirtschaftslehre, politische Ökonomie) werden in Klausuren aufgefordert, mikroökonomischen Klausuraufgaben zu lösen. Der Leidfaden für Mikroökonomie sollte Ihnen helfen, die Losung von Aufgaben besser zu verstehen und eine Struktur des Vorgehensweise zu erkennen. Die Grundschritte können wie folgt in einer Strategie zusammengefasst werden.

Strategie für die Lösung von Aufgaben in der Mikroökonomie

bei der Lösung von mikroökonomischen Aufgaben in Tutorate, Übungen und Klausuren sind Sie damit konfrontiert rationale Entscheidungsregeln und Grenzen der Interaktion zwischen den Akteuren für die ökonomischen Akteure zu bestimmen. Folgendes Vorgehensweise in Vier Schritte ist zu empfehlen:

• 1. Schritt: Stellen Sie zuerst die Fakten aus der Aufgabe zusammen.
• 2 Schritt: Stellen Sie das Optimierungsproblem auf.
• 3. Schritt: Stellen Sie die Optimalitätsbedingungen erster und zweiten Ordnung auf und bestimmen Sie die Optimalitätsregeln.
• 4. Schritt: Bestimmen Sie die rationalen Entscheidungsregeln für das Optimierungsproblem.

(1. Schritt) Stellen Sie zuerst die Fakten aus der Aufgabe zusammen

Beispiel von einer einfachen Aufgabe: “Ein Haushalt hat die Möglichkeit zwischen zwei Konsumgüter ($x_1$ und $x_2$) zu entscheiden. Die rationalen Präferenzen des Haushalts sind durch folgenden quasi-linearen Nutzenfunktion erklärt: $U(x_1, x_2)$

U(x_1, x_2)=a \cdot x^\alpha_1+b \cdot x_2

[Die Formel steht meistens im Text]. Das Einkommen von Haushalt beträgt $y=$1000 € und den Preis von beiden Güter sind Identisch, d. h. $p_1=p_2=1$:

p_1 \cdot x_1 + p_2 \cdot x_2 \le y  \quad \text {oder} \\ p_1 \cdot x_1 + p_2 \cdot x_2 \le 1000 \quad \text {oder} \\ 1 \cdot x_1 + 1 \cdot x_2 \le 1000

[Das ist ein Hinweis, dass Sie diese Information in der Aufgabestellung zu berücksichtigen müssen]. (a) Bestimmen Sie die die individuelle Nachfrage von beiden Güter für diesen Haushalt.”

Wie Sie den ersten Schritt einsetzen: Zunächst haben Sie im obigen Beispiel Ein-Haushalt-Modell, d. h. alles anderen wird zunächst abstrahiert bzw. unter dem ceteris paribus Bedingung konstant gehalten. Hier sollten Sie sich nur auf das Verhalten von einem Haushalt in einer Volkswirtschaft konzentrieren. Zwei Fakten sind hier zu erkennen: (1) Das Verhalten von Haushalt wird durch seine Präferenzen (Nutzenfunktion) erklärt, und wird von (2), die verfügbaren Ressourcen (Budget des Haushalts) beschränkt. Sie haben hier zwei Zutaten für den Lösungsweg: die Nutzenfunktion und die Budgetgerade, die Sie in der Problembeschreibung nutzen können.

(2. Schritt) Das ökonomische Optimierungsproblem aufstellen

Der Erfolg von diesem Schritt hängt von Ihnen gesammelten Fakten in Schritt 1 und daraus zu erkennendes ökonomisches Optimierungsproblem aufzustellen. In der volkswirtschaftlichen Analyse haben Sie nur zwei Prinzipien zu Verfügung: (1) das Maximumprinzip für die Lösung von Maximierungsprobleme und (2) das Minimumprinzip für die Lösung von Minimierungsprobleme. Im obigen Beispiel ist es eher ersichtlich, dass die verfügbaren Ressourcen (Das Einkommen) den maximalmöglichen Konsum beschränken würden und unser Problem ist es herauszufinden; welcher Bündel von Gut 1 und Gut 2 den Nutzen vom Haushalt maximiert, sodass keiner weitere Pareto-Verbesserung möglich ist, ohne die Ressourcenrestriktion zu verletzen.

\max_{x_1,   \ x_2} U(x_1, x_2) \\ s.t. \ p_1 \cdot x_1 + p_2 \cdot x_2 \le y

Generell besteht unser Optimierungsproblem aus der Zielfunktion (hier die Nutzenfunktion vom Haushalt), die optimiert wird (Maximierung oder Minimierung) und die Ressourcenrestriktion (Hier die Budgetgerade von Haushalt), die zu beachten ist (Keine Überschreitung oder keine Unterschreitung von Kapazitäten). Empfehlenswert ist eine Lagrange-Optimierungsproblem aufzustellen.

\max_{x_1,   \ x_2, \ \lambda} L(x_1, x_2, \lambda)= U(x_1, x_2) - \lambda (p_1\cdot x_1+p_2\cdot x_2 - y)

Als Alternative können Sie diese Aufgabe mit der Substitutionsmethode lösen.

(3. Schritt) Stellen Sie die Optimalitätsbedingungen erster und zweiten Ordnung auf und bestimmen Sie die Optimalitätsbedingung

Ab hier geht es nur analytisch-mathematisch und ökonomisch vor. Hoffentlich haben Sie eine Lagrange-Optimierungsproblem aufgestellt: Die Optimalitätsbedingungen erster Ordnung setzen die grenzwertigen Maximum/Minimum für das Lagrange-Optimierungsproblem (Erster Ableitung einer Funktion muss Null sein bzw. Es gibt keine zusätzliche Verbesserung des Lagrange aus einer zusätzlichen Einheit mehr von Gut 1 oder Gut 1, im Sinne unseres Beispiels).

(1) \frac{\partial L(x_1, x_2, \lambda)}{\partial x_i}=\frac{\partial U(x_1, x_2)}{\partial x_i}-p_i=0 \\ (2) \ \frac{\partial L(x_1, x_2, \lambda)}{\partial \lambda}=-p_1\cdot x_1-p_2\cdot x_2 + y=0

In Diesem Schritt leiten Sie die Optimalitätsregeln her; (1) GRS muss gleich das relative Preisverhältnis zwischen beiden Güter (Kontraktkurve): Akteure berücksichtigen Ihre Präferenzen im Sinne der Grenzrate der Substitution und die Marktbedingungen im Sinne der relativen Preise als Maßstab für mögliche Besserung Ihrer Lage nach Ihrer Entscheidung. 

\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}= \frac{\frac{\partial U(x_1, x_2)}{\partial x_1}}{\frac{\partial U(x_1, x_2)}{\partial x_2}}=\frac{p_1}{p_2}= PV

(2) Die Budgetrestriktion muss stets effizient erfüllt sein: Die Ressourcen vom Haushalt werden vollständig und effizient verbraucht, d.h. Verschwendung oder unnötiges Sparen wird vermieden. Am Enden von diesem Schritt sollten Sie zuerst die mathematischen Formeln integrieren. Eine Integration davor stört das Verständnis von ökonomisch-mathematischen Konzepte in der Herleitung vom Lösungsweg. In den meisten Fällen ist es nicht vorausgesetzt, die Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung (Zweiter Ableitung von Lagrange-Funktion) aufzustellen, jedoch wird erwartet, dass Sie die Bedeutung und Folgen der Nichterfüllung zu erklären.

\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}= \frac{\alpha a x^{(\alpha-1)}_1 }{b}=\frac{p_1}{p_2}= PV \Rightarrow x_1=\left(\frac{b p_1}{\alpha a p_2} \right)^{\left( \frac{1}{\alpha-1}\right)}

Nun setzen wir das Ergebnis in der Budgetrestriktion ein:

p_1 \cdot x_1 + p_2 \cdot x_2 \le y \\ \Rightarrow p_1 \cdot \left(\frac{b p_1}{\alpha a p_2} \right)^{\left( \frac{1}{\alpha-1}\right)} + p_2 \cdot x_2 \le y

Daraus folgt:

x_2=\frac{y}{p_2}- \frac{p_1}{p_2}\cdot \left(\frac{b p_1}{\alpha a p_2} \right)^{\left( \frac{1}{\alpha-1}\right)}

Dann folgt:

x_2=\frac{y}{p_2}-\left( \frac{p_1}{p_2}\right)^{ \left(\frac{\alpha}{\alpha-1}\right)} \cdot \left(\frac{b}{\alpha a} \right)^{\left( \frac{1}{\alpha-1}\right)}

(4. Schritt) Bestimmen Sie die rationalen Entscheidungsregeln für das Optimierungsproblem

Aus den Optimalitätsbedingungen lassen sich die rationalen Entscheidungsregeln (bzw. die Nachfrageregeln für den Haushalt in der obigen Aufgabe) herleiten. In der obigen Aufgabe sollten Sie die Nachfrage von Gut 1 und Gut 2 aufstellen, die vom Einkommen des Haushalts und die Preise von beiden Güter jeweils abhängen wird. Die nachfrage nach Gut 1 und Gut 2 lautet:

x_1=\left(\frac{b p_1}{\alpha a p_2} \right)^{\left( \frac{1}{\alpha-1}\right)} \quad \text{und} \quad x_2=\frac{y}{p_2}-\left( \frac{p_1}{p_2}\right)^{ \left(\frac{\alpha}{\alpha-1}\right)} \cdot \left(\frac{b}{\alpha a} \right)^{\left( \frac{1}{\alpha-1}\right)}

Ab hier können Sie nun die Werte für Einkommen $y=$ 1000 € und Preise $p_1=p_2=1$ integrieren. Meistens docken sich weiteren Fragen von der Klausur bzw. Übung hier und erweitern die Analyse auf verschiedene Fälle. Diese Fälle zeigen, wie gut Sie das entwickelte Analysewerk in der Erklärung von rationalen oder sogar irrationalen Verhalten von Entscheider (Hier Haushalt) einsetzen können. Die Fähigkeit das Wissen einzusetzen, ist jedoch davon abhängig, wie Ihnen die zusätzlichen Informationen bereitgestellt sind:

x_1=\left(\frac{b}{\alpha a} \right)^{\left( \frac{1}{\alpha-1}\right)} \quad \text{und} \quad x_2=1000- \left(\frac{b}{\alpha a} \right)^{\left( \frac{1}{\alpha-1}\right)}

Erweiterungsmöglichkeiten für den obigen Beispiel

 Erweiterungsbeispiel von obigen einfachen Aufgabe: Dozierende möchte gerne wissen, ob Sie die korrekte Nachfragefunktion hergeleitet haben (Entscheidungsregeln) und ob Sie der Effekt der Änderung einer Variable erklären können. Folgende Erweiterung wäre pädagogisch sinnvoll: „…(b) Bestimmen Sie die Nachfrage von beiden Güter, wenn der Preis von Gut 1 sich verdoppelt und das Einkommen von Haushalt in der selben Zeit sich verdreifacht, während der Preis von Gut 2 unverändert bleibt“. Dieser Erweiterung schlägt jeder, der sich die Fragestellung zum ersten Mal anschaut. 

Der Trick liegt im Vorgehensweise. Lesen Sie zwar die gesamten Aufgaben durch, aber fangen Sie mit dem Grundmodell, die aus Schritt 1 bis 4 für den Teilaufgabe a besteht. Wenn Sie die Grundschritten 1 bis 4 umgesetzt haben, ist es leichter weitere Anpassungen im Modell vorzunehmen. In Kommenden Beiträge, werde ich für Sie Beispiele und Lösungswege vorstellen.

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