Lagrange-Optimierung

Lagrange-Optimierung ist eine Methode der Differenzialrechnung mit mehreren Variablen und mit einer Vielzahl von Restriktionen, die von französischer Mathematiker Lagrange (1736-1813) entwickelt würde. Die Anwendung von der Lagrange-Optimierung eignet sich für Optimierung von Zielfunktionen unter Berücksichtigung von mehreren Restriktionen, die sich nicht mit der Substitutionsmethode einfacher lösen lassen. Das Ziel der Lagrange-Methode besteht darin, durch Restriktionen gebundenen Extremwerte einer Zielfunktion zu bestimmen. Ein Beispiel sehen Sie in unserem Leitfaden für die Lösung von mikroökonomischen Aufgaben.

Warum sollten Sie die Lagrange-Methode lernen?

Warum sollten Sie wissen, wie Sie die Lagrange-Optimierung anwenden? Falls Sie Wirtschaftswissenschaften studieren und die Grundlagen der Volkswirtschaftslehre und Betriebswirtschaftslehre verstehen möchten, dann sind Sie darauf angewiesen, die Lagrange-Methode zu lernen. So ist einfacher optimale Entscheidungen von Akteuren in der Wirtschaft mittels mathematischer Modelle zu erklären. Die Lagrange-Optimierung wird bei der Analyse von Verhaltensmodelle in den Wirtschaftswissenschaften (Volks- und Betriebswirtschaftslehre) verwendet. Verhaltensmodell sind ein Erklärungsmodelle für Verhalten in der Wissenschaft. Die Verhaltensmodell versuchen das Verhalten mittels mathematischer Methoden darstellen zu lassen.

Wir verwenden die Lagrange-Optimierung bzw. Ansatz für die Beschreibung einer Optimierung von ökonomischen Fragestellungen (Zielfunktion) unter Beachtung von Nebenbedingungen und die Lagrange-Methode gilt als eine quantitative Methode der mathematischen Lösungsfindung. Nebenbedingungen stellen eine natürliche oder von Menschen geschaffene Einschränkung bzw. Restriktionen der potenziellen Auswahlmöglichkeiten von Alternativen in der Entscheidungsfindung.

Ausgangspunkt der Lagrange-Methode

Ausgangspunkt der Lagrange-methode ist eine Zielfunktion $f(x_1, x_2,…, x_n)$ und mehrere Restriktionen $g_i(x_1, x_2, …, x_n)$ für alle $i=(1, 2, 3, …, k)$. Betrachten wir nun folgenden Beispiel: Ein Unternehmen Produziert zwei Güter $(x_1,$ und $x_2)$ die folgenden Budgetgemeinkosten tragen sollten; Vertriebskosten 10.000 € in einem Verhältnis von 2:3, Produktionskosten von 50.000 € in einem Verhältnis von 4:6, Lagerkosten von 15.000 € in einem Verhältnis von 1:4 und Verwaltungskosten in Höhe von 100.000 € in einem Verhältnis von 1:1. Bei welche Produktions- und Absatzmenge maximiert das Unternehmen sein Gewinn, wenn das Gut $x_1$ 5,00 € und Gut $x_2$ 10 € auf dem Markt erzielt und die Einzelkosten von 2,00 e je Stück bei beiden Güter anfallen?

Zielfunktion definieren

In der obigen Aufgabe sollten wir eine Zielfunktion definieren. Unsere Zielfunktion ist eine Gewinnfunktion und Gewinn $G(x_1, x_2)$ ist definiert als Umsatzerlöse $E(x_1, x_2)$ abzüglich aller betrieblichen Kosten $K(x_1, x_2)$.

G(x_1, x_2)= E(x_1, x_2)-K(x_1, x_2)

Die Erlösefunktion erhalten als Summe der Umsätze von beiden Produkten:

E(x_1, x_2)=5x_1+10x_2

Bei den Kosten haben wir Vertriebs-, Produktions-, Lager- und Verwaltungskosten (sowohl Einzelkosten als auch Gemeinkosten) zu berücksichtigen:

K(x_1, x_2)= 2x_1+2x_2 +175.000

Daraus folgt folgende Zielfunktion:

G(x_1, x_2)= E(x_1, x_2)-K(x_1, x_2) \\ G(x_1, x_2)= 5x_1+ 10x_2-2x_1-2x_2 -175.000 \\ G(x_1, x_2)= 3x_1+7x_2-175.000

Restriktionen definieren

Nach der Zielfunktionen können wir nun die Restriktionen definieren. In umserem Beispiel sind Vertriebs-, Produktions-, Lager- und Verwaltungsgemeinkosten genau vier Resktriktionen für unsere Planung und Optimierung des Gewinns. Die Resktrition der Vertriebssgemeinkosten lautet:

0,4x_1+0,6x_2 \le 10.000

Die nächste Restriktion gilt für die Produktionsgemeinkosten:

0,4x_1+0,6x_2 \le 50.000

Die dritte Restriktion gilt für die Lagergemeinkosten:

0,2x_1+0,8x_2 \le 15.000

Die vierte Restriktion gilt für die Verwaltungsgemeinkosten:

0,5x_1+0,5x_2 \le 100.000