Allgemeine Potenzfunktion

Die allgemeine Potenzfunktion ist einer der wichtigsten Funktionstypen in der Mathematik. Fürs Studium, die Ausbildung und die Schule sollten Studierende, Auszubildende und Schülerinnen die allgemeinen Eigenschaften der Potenzfunktion (Definitionsbereich, Wertebereich, Symmetrieeigenschaften (Achsensymmetrie und Punktsymmetrie), Ableitungsregeln (Differenzialrechnung) und Aufleitungsregeln (Integralrechnung)) beherrschen. In diesem Beitrag möchten wir die Grundlagen der Potenzfunktionen vorstellen, die Sie für den Kurs Mathematik und Abiturvorbereitung benötigen.

Die Allgemeine Potenzfunktion: Definition

Die Potenzfunktion nimmt allgemein folgende Form an:

f(x)=a \cdot x^{n}

Mit der reellen Zahl $a$ als Streckungsfaktor und Spiegelung durch die X-Achse, der natürlichen Zahl $n$ als Hochzahl und dem Term $x^{n}$ als Potenz von Grad $n$, z. B. $f(x)=3x^{4}$ ist eine Potenzfunktion von Grad 4, die um den Faktor 3 gestreckt ist und oberhalb der X-Achse verläuft. Davor sollten Sie sich mit der allgemeinen Definition von Funktionen vertraut machen.

Funktionseingeschaften der Potenzfunktion

Die Potenzfunktionen lassen sich in zwei groben Kategorien eingliedern; Potenzfunktionen mit gerader Hochzahl und Potenzfunktionen mit ungerader Hochzahl, und gibt Auskunft über die Symmetrieeigenschaften der Potenzfunktion.

Definitionsbereich der Potenzfunktion

Die Potenzfunktion ist für alle reellen Zahlen definiert, d.h.

D_{f}: x \in \mathbb{R} \ \text{wenn} \ n \in \mathbb{N} \ \text{and} \ n \ne 0

wenn die Hochzahl der Potenzfunktion eine natürliche Zahl größer als null ist.

Achsensymmetrie einer Potenzfunktionen und Wertebereich

Potenzfunktionen mit ungerader Hochzahl sind achsensymmetrisch zur Y-Achse, d. h.:

f(x)=f(-x) \in \mathbb{R} \setminus \ (x<0)\ \text{für} \ a>0 \\ n \in \mathbb{N} \\ \text{und ist eine gerade Zahl}

Somit ist die Potenzfunktion mit gerader Hochzahl in ihrem Wertebereich entweder nach unten (Minimum) oder nach oben (Maximum) beschränkt.

Punktsymmetrie einer Potenzfunktionen und Wertebereich

Potenzfunktionen mit ungerader Hochzahl sind punktsymmetrisch zum Ursprung $O(0, f(0))$ und der Wertebereich entspricht allen reellen Zahlen, d. h.:

f(-x)=-f(x) \in \mathbb{R}  \\ n \in \mathbb{N} \\ \text{und ist eine ungerade Zahl}

Ableitung der Potenzfunktion: Potenzregel der Ableitung

Die Potenzfunktion lässt sich wie folgt ableiten:

f'(x)=a \cdot n \cdot x^{(n-1)}

Aufleitungsregel der Potenzfunktion: Potenzregel der Aufleitung

Die Potenzfunktion lässt sich wie folgt ableiten:

F(x) = \int {f(x) \ dx} =\int{x^{n} \ dx}=\frac{a\cdot x^{n+1}}{n+1}

Literaturempfehlung

• Auer, B., & Seitz, F. (2013). Grundkurs Wirtschaftsmathematik. Springer Fachmedien Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-02734-6
• Sydsæter, K., Hammond, P. J., Strøm, A., Carvajal, A., & Böker, F. (2018). Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Basiswissen mit Praxisbezug (5., aktualisierte Auflage). Pearson.
• Tietze, J. (2013). Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik. Springer Fachmedien Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-02361-4