Quadratische Funktion einfach erklärt
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f(x)=ax^{2}+bx+c\ \ \text{(zum Beispiel)} f(x)=2x^{2} -5x+4 f(x)=3x^2 f(x)=4x^2+2x f(x)=6x^2-72
Die Kostante $a$ informiert uns einerseits, ob die Parabel verstaucht oder gestreckt ist, und andererseits, ob die Parabel nach oben oder unten offen ist. Die kostante $c$ trägt Information über die Verschiebung der Parabel nach oben oder nach unten auf der y-Achse. Wir vernachlässigen die Konstante $b$ an dieser Stelle, da es keine sinnvolle Information zurzeit enthält. Das heißt nicht, dass die Konstante $b$ nicht relevant ist. Um die Rolle von $b$ verstehen zu können, werden wir die Scheitelform der Parabelgleichung noch kennenlernen.
Normalform der Parabel
Aber zunächst schauen wir uns die Normalform der Polynom 2. Grades. Die Normalform der Parabel entsteht dadurch, dass wir die allemeine Form mit der Kostante $a$ teilen, um folgendes Ergebnis zu erhalten.
f(x)/a=x^{2}+(b/a)x+(c/a) \ \text{(zum Beispiel)} f(x)/2=x^{2}-2,5x+2 f(x)/3=x^2Die Normalform entsteht im ersten Schritt bei der Herleitung der P-Q-Formel für die Bestimmung der Nullstellen einer Parabel
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Die Produktform der Parabel
Die Produktform der Parabel besteht aus dem Produkt von zwei Termen und eine Konstante und eignet sich für die Bestimmung der Nullstellen einer Parabel.
f(x)=a\cdot(x+b)\cdot(x+c) f(x) =-2\cdot(x+4)\cdot(x-2) f(x)=7\cdot(2x-5)
Die Scheitelform der Parabel
Die Scheitelform der Parabel besteht aus zwei Summanden. Der erste Summand ist ein Produkt einer Konstante und ein quardratischen Term und der zwei Summand ist eine Konstante. Ein Vorteil der Scheitelform ist, dass wir damit die Verschiebung der Parabel in der x-Achse und y-Achse erklären können. Jeder Koordinatenpunkt können wir ausgehend vom Scheitelpunkt $S(-d|e)$ der Parabel erklären.
f(x)= a \cdot (x+d)^2+e \ \text{zum Beispiel} f(x)=-2\cdot (x+3)^{2}-5Der Scheitelpunkt $S(-d| e)$ vom Beipiel lautet $S(-3|-5)$. Um die Scheitelform der quadratischen Funktion zu erhalten, würden wir die allgemeiner Form quadratisch ergänzen.
Aufgabe 1: Die allgemeine Form in Produktform der Parabel umwandeln
Wandeln Sie die allgemeine Form der Parabeln in Produktform um.
f(x)=2x^2+16x+30
Im ersten Schritt sehen wir, dass wir 2 ausklammern können.
f(x)=2\cdot(x^2+8x+15)
Im zweiten Schritt verwenden Wir den Satz von Vieta und suchen zwei Zahlen, die folgende Bedingungen gleichzeitig erfüllen.
[(d+e)=8=(3+5)] \ \text{und} \ [(d\cdot e) =15=(3\cdot 5)]Aus der fünften Multiplikationsreihe finden wir die Wertepaare 3 und 5, die diese bedingung erfüllen. Die Werte verwenden wir um den Term $8x$ in zwei Summanden $8x=(3x+5x)$ zuzerlegen. Das Zwischenergebnis lautet wie folgt.
f(x)2\cdot (x^2+3x+5x+15)
Nun folgt das Ausklammern von $ ( x^2+ 3x )=x (x+3) $ und von $ (5x+15)=5 (x+3) $.
f(x)2\cdot (x(x+3)+5(x+3))
Daraus folgt die Losung
f(x)2\cdot (x+5)(x+3)
f(x)=2x^2+16x+30
Im ersten Schritt klammern wir $a=2$ aus um den Normalform der Parabel zu erhalten.
f(x)=2(x^2+8x+15) f(x)=a(x^2+(b/a)\cdot x+ (c/a))
Im Zweiten schitt führen wir die quadratische Ergänzung durch. Das heißt wir addieren und ziehen den Term $(b/2a)^2=(16/(2\cdot2))^2=(4)^2=16$ ab (mit $a=2$ und $b=16$). Nun fassen wir die $-(b/2a)^2+(c/a)=-4^2+15=-1$ zusammen und multiplizieren mit $a=2$.
f(x)=2(x^2+8x+4^2-4^2+15) f(x)=2[(x^2+8x+16)-1] f(x)=2(x^2+8x+16)-2 f(x)=a(x^2+(b/a)⋅x+(b/2a)^2)+a[-(b/2a)^2+(c/a)]
Im dritten Schritt zerlegen wir den mittleren Term $bx/a=bx/2a+bx/2a=(4x+4x)$ in der obigen Gleichung.
f(x)=2(x^2+4x+4x+16)-2 f(x)=a(x^2+(b/2a)⋅x+(b/2a)⋅x+(b/2a)^2)+ a[-(b/2a)^2+(c/a)]
Als letzter Schritt wandelt wir den Term $(x^2+4x+4x+16)$ in Produktform durch Ausklammern um, um den Scheitelform der Parabel zu erhalten.
f(x)=2(x^2+4x+4x+16)-2 f(x)=2(x(x+4)+4(x+4))-2 f(x)=2(x+4)^2-2
Das Endergebnis lässt sich allgemein wie folgt intepretieren: Unsere Funktionswert im Scheitelpunkt entspricht $y_0=-2=(-b^2/4a +c)$ und ist der Schnittpunkt mit der y-Achse und den x-Wert kann aus der Produktform mit umgekehrten Vorzeichen abgelesen werden $x_0=-b/2a=-4$.
f(x)=2(x+4)^2-2 f(x)=a(x+b/2a)^2+(-b^2/4a +c)
Der Scheitelform lässt auch somit auch wie folgt charakterisieren und der Scheitelpunkt lautet $S(x_0|y_0)=S(-b/2a|-b^2/4a +c)$.
f(x)=a(x+b/2a)^2+(-b^2/4a +c) f(x)=a(x-x_0)^2+y_0
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