Drei Mittelwerte

In diesem Beitrag lernen Sie drei Mittelwerte, die in der deskriptiven Statistik als Lageparameter berechnet und angewendet werden. Ein Mittelwert zeigt die zentrale Lage der beobachteten Merkmalsausprägungen eines Merkmals in einer Stichprobe von $n$ Elementen der statistischen Einheit. Drei Typen von statistischen Mittelwerten, die Sie kennen sollten und ihren Anwendung verstehen sollten, werden hier erklärt.

1. Einleitung: Drei Mittelwerte

In der Statistik können die drei Typen von empirischen Mittelwerten als Lageparameter sind mit metrischen Daten ermittelt werden und zwar:

1. Arithmetischer Mittelwert
2. Geometrischer Mittelwert
3. Harmonischer Mittelwert

Je nach genaueren Anforderungen der vorliegenden metrischen (kardinalen) Merkmalen eignet sich einen der drei Mittelwerte für die Bestimmung der mittleren Lage relativ zur Häufigkeit der jeweiligen Merkmalsausprägungen.

2. Datenreihe und Stichprobe

Bei der Durchführung von statistischen Analysen greifen Forscher häufig auf Mittelwerte, aber welchen Mittelwert sollten Sie wann verwenden und wie interpretieren? Je nach Merkmal und Messniveau entscheidet sich of es sinnvoll ist einen Mittelwert als Lageparameter zu berechnen, hier wäre die metrisch skalierten Merkmalen geeignet. Die drei Typen von statistischen Mittelwerten sind die meistverwendeten Mittelwerten in der Wirtschaftswissenschaften. Anderen Fachbereiche haben Ihren Spezialitäten.

Die Basis für die Berechnung vom Mittelwert ist eine Datenreihe (bzw. Stichprobe) von $n$ Beobachtungen in eine Urliste für eine Merkmal $X$:

X= \left( x_{1}, x_{2}, x_{3}, ...,  x_{n} \right)

mit $n$ als Stichprobengroße. Als Beispiel können Sie folgende Datenreihe (bzw. Stichprobe) zur Übung verwenden: $X = \left( 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, \right)$

3. Arithmetischer Mittelwert

Der arithmetische Mittelwert ist der bekannteste Mittelwert bei der Auswertung von Daten in der Statistik. Für die Bestimmung des arithmetischen Mittelwerts gibt es drei formalen Vorgehensweisen, die sich im Ansatz sich nicht widersprechen dürften.

3.1 Einfach gewichteter arithmetischer Mittelwert

Definiert wird das arithmetische Mittelwert als die gewichtete Summe der Merkmalausprägungen eines Merkmals in einer Stichprobe von $n$ Elementen einer statistischen Einheiten:

\bar X = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} 

\bar X = \frac{1}{n}(x_{1} +x_{2}+x_{3} ... + x_{n})

Aus der obigen Stichprobe folgt:

\bar X = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{n=10} x_{i}

\bar X = \frac{1}{10}(1 +1+2+2+2+2+3+4+5+6)

Dazu sollten Sie hier oben beachten, dass mit dem Eingangsformel $\bar X = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}$ bestimmen Sie das ungewichtete arithmetische Mittelwert. Und sie ist deswegen ungewichtet, weil Sie jeden Merkmalsausprägung einzeln summieren und am Ende mit der Stichprobengröße $n$ teilen.

3.2 Absolut gewichteter arithmetischer Mittelwert

Um die Berechnung davon zu vereinfachen, können Sie ähnliche Merkmalsausprägungen in $k$ Gruppen gruppieren und die absolute Häufigkeit $n_{i}$ bei der Berechnung des arithmetischen Mittelwerts verwenden. Daraus lässt sich der absolut gewichtete arithmetische Mittelwert wie folgt bestimmen:

\bar X = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k}n_{i} x_{i}

\bar X =\frac{1}{n}(n_{1}x_{1} +n_{2}x_{2}+n_{3}x_{3} ... +n_{k} x_{k})

Die Datenreihe (bzw. Stichprobe) kann in einer Paarmenge der Merkmalausprägung und der absoluten Häufigkeit der Merkmalausprägung zusammengefasst werden: Aus $X = \left( 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, \right)$ wird die Menge folgender Wertepaaren $X= \left( x_{i}, n_{i} \right) = \left( \left( 1, 2 \right), \left( 2, 4 \right), \left( 3, 1 \right), \left( 4, 1 \right), \left( 5, 1 \right), \left( 6, 1 \right) \right)$.

\bar X =\frac{1}{10} \sum_{i=1}^{k=6}n_{i} x_{i} 

\bar X = \frac{1}{10}(2 \cdot 1 +4 \cdot 2+ 1 \cdot 3+ 1 \cdot 4+ 1 \cdot 5+1 \cdot 6)

3.3 Relativ gewichteter arithmetischer Mittelwert

Eine weitere Vereinfachung der Berechnung ist möglich, wenn wir den Bruch $\frac{1}{n}$ in der Summe nehmen und das Verhältnis der absoluten Häugigkeit $n_{i}$ zur Stichprobengröße mit der relativen Häfigkeit $(\frac{n_{i}}{n}=h_{i})$ ersetzen.

\bar X = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k}n_{i} x_{i}=\sum_{i=1}^{k} \frac{n_{i}}{n} x_{i}= \sum_{i=1}^{k} h_{i} x_{i}

\bar X = (h_{1}x_{1} +h_{2}x_{2}+h_{3}x_{3} ... +h_{k} x_{k})

Die Datenreihe (bzw. Stichprobe) kann in einer Paarmenge der Merkmalausprägung und der relativen Häufigkeit der Merkmalausprägung zusammengefasst werden: Aus

$X = \left( 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, \right)$

wird die Menge folgender Wertepaaren:

$X= \left( x_{i}, h_{i} \right) = \left( \left( 1, 0.2 \right), \left( 2, 0.4 \right), \\ \left( 3, 0.1 \right), \left( 4, 0.1 \right), \left( 5, 0.1 \right), \left( 6, 0.1 \right) \right)$

und der relativ gewichteter arithmetischer Mittelwert lässt sich wie folgt berechnen:

\bar X = \sum_{i=1}^{k=6} h_{i} x_{i} \\= 0.2 \cdot 1 +0.4 \cdot 2+ 0.1 \cdot 3+ 0.1 \cdot 4+ 0.1 \cdot 5+0.1 \cdot 6

Der arithmetische Mittelwert hat besondere Eigenschaften, die Konsequenzen für die Anwendung von statistischen Methoden hat:

• Zentraleigenschaft
• Additive Verschiebungseigenschaft
• Multiplikative Streckungseigenschaft oder Homogenität
• Gruppierungseigenschaft

4. Geometrisches Mittelwert (Geomittel)

Das geometrische Mittelwert (Geomittel) $\bar X_{geo}$ können Sie dann angewendet, wenn Ihre Daten wachstumsbehaftet sind oder eine Zeitreihe darstellen sollten.

\bar X_{geo} = \sqrt[n]{(x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} ... \cdot x_{n})}

In der Wirtschaftswissenschaften werden häufig Zeitreihen untersucht, z. B. das Bruttoinlandsprodukt, Arbeitslosenquote, Inflation, Preisniveau, …, etc. Deshalb ist es wichtig bei der Berechnung von Mittelwert von Zeitreihen auf die Interpretationsfähigkeit und Schätzfehler von arithmetischen Mittelwerten zu achten. Bei Zeitreihen interessieren wir uns für durchschnittlichen Wachtumsraten und Änderungsraten. Nehmen wir nun Logarithmus vom geometrischen Mittelwerr, erhalten wir folgendes:

\ln{(\bar X_{geo})}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \ln{(x_{i})}

5. Harmonisches Mittelwert

Das harmonische Mittelwert $\bar X_{ham}$ kann verwendet werden, wenn wir Verhältnisse analysieren, z. B. die durchschnittliche Geschwindigkeit eines Objekts. Harmonisches Mittelwert können wir als das Kehrwert des arithmetisches Mittelwert der Kehrwert einer statistischen Reihe definieren.

\bar X_{ham} = \frac {n}{\sum_{i=1}^{k}n_{i} (\frac{1}{x_{i}})} =\frac {1}{\sum_{i=1}^{k}h_{i} (\frac{1}{x_{i}})}

Harmonisches Mittelwert lässt sich nur berechnen, wenn wir sowohl negative Werte und Null als Wert ausschließen. Um das harmonische Mittel zu berechnen, sollten Sie diesen Schritten durchführen:

• Bilden Sie die Kehrwerte der Beobachtungen
• Danach berechnen Sie das arithmetische Mittelwert der Kehrwerte der Beobachtungen
• Als letzter Schritt sollten Sie die Kehrwert des Ergebnisses in Schritt 2 berechnen. Das Ergebnis ist das harmonisches Mittelwert der Beobachtungen

6. Vergleich der drei Mittelwerten

Gehen Sie von einer Datenreihe mit positiven Werten aus und berechnen Sie die drei Mittelwerten. Sie werden feststellen, dass das harmonische Mittelwert kleiner als das geometrische Mittelwert ist. Zweiten ist das arithmetisches Mittelwert das stets großer als das geometrische Mittelwert.

\bar X_{ham}<\bar X_{geo}<\bar X

7. Prüfungsvorbereitung für Statistik

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8. Literaturvorschlag für Statistik für VWL und BWL