Eigenschaften von Produktionstechnologien und ProduktionfunktionEigenschaften von Produktionstechnologien und Produktionfunktion

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Die Produktionstheorie verwendet Produktionsfunktionen $x(r_1, r_2,..., r_n)$ um Produktionstechologie mathematisch zu erklären. $x$ steht für die Ausbringungsmenge (Output) und $r_1, r_2,..., r_n$ steht für die Einsatzmenge (Input). Um eine Menge $x$ herzustellen, ist eine Kombination von $r_1, r_2,..., r_n$ notwendig. Im einfachsten Fall wird eine Ein-Input-Ein-Output (einfache) Produktionstechnologie angenommen.

Einfache Produktionstechnologie

Ein einfache Produktionstechnololgie kann durch folgender Produktionsfunktion dargestellt werden:

x(r)=a\cdot r^\alpha \\ \, \text{mit} \,\ r\ge 0 \,, a\ge 0 \,, \text{und} \, \alpha\in R^{\pm}

Proportionale Produktionstechnolgie mit konstanten Skalenerträge

Eine solche Produktionstechnologie verläuft proportional (linear) in $r$, wenn $\alpha=1$ entspricht bzw. wenn die Produktionstechnologie kostanten Skalenerträge aufweist. D. h. eine Vervielfachung der Inputs um den Faktor $\lambda$ erhöht den Output um den Faktor $\lambda^\alpha=\lambda^1$. $\alpha$ gibt in diesem Fall den Homogenitätsgrad

x(\lambda r)=(\lambda r)^\alpha=\lambda^\alpha x^\alpha

Degressive Produktionstechnologie mit abnehmenden Skalenerträgen

Wenn $0<\alpha<1$ entspricht, dann wird eine solche technologie als eine Produktionstechnologie mit abnehmenden Skalenerträgen, da für jeder Vervielfachung der Inputmengen um den Faktor $\lambda$ vervielfacht sich die Ausbringungsmenge $x$ um den Fakor $\lambda^\alpha<\lambda^{1}$.

Progressive Produktionstechnologie mit zunehmenden Skalenerträgen

Wenn $\alpha>1$ entspricht, dann gilt die Produktionstechologie als eine mit zunehmenden Skalenerträgen, d. h. dass die Vervielfachung der Einsatzmenge $r$ um den Faktor $\lambda$ erhöht die Produktionsmenge (Output) um dem Faktor $\lambda^{\alpha}>\lambda^{1}$.

Mehrfaktoren Produktionstechnologie

In Produktionsprozessen mit mehreren Inputs, z. B. Produktionsfaktor $r_1$ und Produktionsfaktor $r_2$, wird die Ausbringungsmenge $X$ abhängig von eingesetzten Inputsmenge hergestellt. Eine solche Produktionstechnologie lässt bespielweise wie folgt beschreiben (Cobb-Douglas-Funktion):

X_i(r_1,r_2)=r_1^\alpha \cdot r_2^\beta

Homogenität und Homogenitätsgrad der Produktionsfunktion

Um die Homogenitätseigenschaft erklären zu können, stellen wir den Fall dar, dass die Produktionsfaktoren jeweils um den Faktor $\lambda$ vervielfacht werden, d. h. $\lambda r_1$ und $\lambda r_2$:

X_i(\lambda r_1, \lambda r_2)=(\lambda r_1)^\alpha \cdot (\lambda r_2)^\beta

Daraus folgt:

X_i(\lambda r_1, \lambda r_2)=\lambda^{\alpha} r_1^\alpha \cdot \lambda^{\beta} r_2^\beta \\=\lambda^{(\alpha+\beta)}\cdot r_1^\alpha \cdot r_2^\beta \\ =\lambda^{(\alpha+\beta)}\cdot X_i(r_1,r_2)

D. h. eine Vervielfachung der Inputs um den Faktor $\lambda$, vervielfacht den Output um den Faktor $\lambda^{(\alpha+\beta)}$.

X_i(\lambda r_1, \lambda r_2)= \lambda^{(\alpha+\beta)}\cdot X_i(r_1,r_2)

mit $(\alpha+\beta)$ als Homogenitätsgrad der Produktionstechnologie. Wenn $(\alpha+\beta)=1$ dann wird von einer Produktionstechnologie mit Homogenitätsgrad 1 gesprochen bzw. eine Produktionstechnologie mit proportionalen Skalenerträgen. Wenn $0<(\alpha+\beta)<1$ dann wird von einer Produktionstechnologie mit abnehmenden Skalenerträgen gesprochen. Wenn $(\alpha+\beta)>1$ dann wird von einer Produktionstechnologie mit zunehmenden Skalenerträgen gesprochen.