Die Produktionstheorie verwendet Produktionsfunktionen $ X(r_1, r_2, …, r_n)$ , um Produktionstechologie mathematisch zu erklären. $X$ Eigenschaften einer einfachen Produktionstechnologie
Ein einfache Produktionstechnololgie kann durch folgender Produktionsfunktion dargestellt werden: Eine solche Produktionstechnologie verläuft proportional (linear) in $r$, wenn $\alpha = 1$ entspricht bzw. wenn die Produktionstechnologie kostanten Skalenerträge aufweist. D. h. eine Vervielfachung der Inputs um den Faktor x(r)=a\cdot r^\alpha \, \text{mit} \,\ r\ge 0 \,, a\ge 0 \,, \text{und} \, \alpha\in R^{\pm}Proportionale Produktionstechnolgie mit konstanten Skalenerträge (Homogenität von Grad 1)
x(\lambda r)=(\lambda r)^\alpha=\lambda^\alpha x^\alpha x(\lambda r) =\lambda x
Eigenschaften von Produktionstechnologien und Produktionfunktion
Degressive Produktionstechnologie mit abnehmenden Skalenerträgen (Homogenität von Grad zwischen 0 und 1)
Wenn die Homogenitätsgrad einen Wert von $1< \alpha < 1$ annimmt, dann wird eine solche technologie als eine Produktionstechnologie mit abnehmenden Skalenerträgen, da für jeder Vervielfachung der Inputmengen um den Faktor $\lambda$ x(\lambda r)=(\lambda r)^\alpha=\lambda^\alpha x^\alpha x(\lambda r) =(\lambda x)^{0,5}=\lambda^{0,5}\cdot x^{0,5}
Zum Beispiel, liegt $\lambda$ bei einem Wert von 0,5, erhalten wir ein Vervielfachungsfaktor von $\lambda^{0,5}$ und dieser Wert wäre niedriger als $\lambda^{1}$.
Progressive Produktionstechnologie mit zunehmenden Skalenerträgen (Homogenität)
Wenn $\alpha>1$ entspricht, dann gilt die Produktionstechologie als eine mit zunehmenden Skalenerträgen, d. h. dass die Vervielfachung der Einsatzmenge $r$ um den Faktor $\lambda$ erhöht die Produktionsmenge (Output) um dem Faktor $\lambda^{\alpha}>\lambda^{1}$.
Mehrfaktoren Produktionstechnologie
In Produktionsprozessen mit mehreren Inputs, z. B. Produktionsfaktor $r_1$ und Produktionsfaktor $r_2$, wird die Ausbringungsmenge $X$ abhängig von eingesetzten Inputsmenge hergestellt. Eine solche Produktionstechnologie lässt bespielweise wie folgt beschreiben (Cobb-Douglas-Funktion):
X_i(r_1,r_2)=r_1^\alpha \cdot r_2^\beta
Homogenität und Homogenitätsgrad der Produktionsfunktion
Um die Homogenitätseigenschaft erklären zu können, stellen wir den Fall dar, dass die Produktionsfaktoren jeweils um den Faktor $\lambda$ vervielfacht werden, d. h. $\lambda r_1$ und $\lambda r_2$:
X_i(\lambda r_1, \lambda r_2)=(\lambda r_1)^\alpha \cdot (\lambda r_2)^\beta
Daraus folgt:
X_i(\lambda r_1, \lambda r_2)=\lambda^{\alpha} r_1^\alpha \cdot \lambda^{\beta} r_2^\beta =\lambda^{(\alpha+\beta)}\cdot r_1^\alpha \cdot r_2^\beta =\lambda^{(\alpha+\beta)}\cdot X_i(r_1,r_2)D. h. eine Vervielfachung der Inputs um den Faktor $\lambda$, vervielfacht den Output um den Faktor $\lambda^{(\alpha+\beta)}$.
X_i(\lambda r_1, \lambda r_2)= \lambda^{(\alpha+\beta)}\cdot X_i(r_1,r_2)mit $(\alpha+\beta)$ als Homogenitätsgrad der Produktionstechnologie. Wenn $(\alpha+\beta)=1$ dann wird von einer Produktionstechnologie mit Homogenitätsgrad 1 gesprochen bzw. eine Produktionstechnologie mit proportionalen Skalenerträgen. Wenn $0<(\alpha+\beta)<1$ dann wird von einer Produktionstechnologie mit abnehmenden Skalenerträgen gesprochen. Wenn $(\alpha+\beta)>1$ dann wird von einer Produktionstechnologie mit zunehmenden Skalenerträgen gesprochen.
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