Die Produktionstheorie verwendet Produktionsfunktionen $ X(r_1, r_2, …, r_n)$ , um Produktionstechologie mathematisch zu erklären. $X$ steht für die Ausbringungsmenge (Output) und $r_i$ steht für die Einsatzmenge (Input). Um eine Menge $X$ herzustellen, ist eine Kombination von Inputs $(r_1, r_2, …, r_n)$ notwendig. Im einfachsten Fall wird eine Ein-Input-Ein-Output (einfache) Produktionstechnologie angenommen, um die Eigenschaften von Produktionstechnologien zu erklären. Danach erfolgt eine Erweiterung der Analyse um die Erklärung der Eigenschaften von Produktionstechnologien mit mehreren Inputs. Komplexer sind Analysen mit mehreren Outputs und mehreren Inputs gleichzeitig.
Eigenschaften einer einfachen Produktionstechnologie
Ein einfache Produktionstechnololgie kann durch folgender Produktionsfunktion dargestellt werden:
x(r)=a\cdot r^\alpha \\ \, \text{mit} \,\ r\ge 0 \,, a\ge 0 \,, \text{und} \, \alpha\in R^{\pm}Proportionale Produktionstechnolgie mit konstanten Skalenerträge (Homogenität von Grad 1)
Eine solche Produktionstechnologie verläuft proportional (linear) in $r$, wenn $\alpha = 1$ entspricht bzw. wenn die Produktionstechnologie kostanten Skalenerträge aufweist. D. h. eine Vervielfachung der Inputs um den Faktor $\lambda$ erhöht den Output um den Faktor $\lambda^{\alpha} =\lambda^{1}$. $\alpha$ gibt in diesem Fall den Homogenitätsgrad
x(\lambda r)=(\lambda r)^\alpha=\lambda^\alpha x^\alpha \\ x(\lambda r) =\lambda x
Degressive Produktionstechnologie mit abnehmenden Skalenerträgen (Homogenität von Grad zwischen 0 und 1)
Wenn die Homogenitätsgrad einen Wert von $1< \alpha < 1$ annimmt, dann wird eine solche technologie als eine Produktionstechnologie mit abnehmenden Skalenerträgen, da für jeder Vervielfachung der Inputmengen um den Faktor $\lambda$ sich die Ausbringungsmenge $X$ um den Fakor $\lambda^{\alpha} < \lambda^{1}$ vervielfacht.
x(\lambda r)=(\lambda r)^\alpha=\lambda^\alpha x^\alpha \\ x(\lambda r) =(\lambda x)^{0,5}=\lambda^{0,5}\cdot x^{0,5}Zum Beispiel, liegt $\lambda$ bei einem Wert von 0,5, erhalten wir ein Vervielfachungsfaktor von $\lambda^{0,5}$ und dieser Wert wäre niedriger als $\lambda^{1}$.
Progressive Produktionstechnologie mit zunehmenden Skalenerträgen (Homogenität)
Wenn $\alpha>1$ entspricht, dann gilt die Produktionstechologie als eine mit zunehmenden Skalenerträgen, d. h. dass die Vervielfachung der Einsatzmenge $r$ um den Faktor $\lambda$ erhöht die Produktionsmenge (Output) um dem Faktor $\lambda^{\alpha}>\lambda^{1}$.
Mehrfaktoren Produktionstechnologie
In Produktionsprozessen mit mehreren Inputs, z. B. Produktionsfaktor $r_1$ und Produktionsfaktor $r_2$, wird die Ausbringungsmenge $X$ abhängig von eingesetzten Inputsmenge hergestellt. Eine solche Produktionstechnologie lässt bespielweise wie folgt beschreiben (Cobb-Douglas-Funktion):
X_i(r_1,r_2)=r_1^\alpha \cdot r_2^\beta
Homogenität und Homogenitätsgrad der Produktionsfunktion
Um die Homogenitätseigenschaft erklären zu können, stellen wir den Fall dar, dass die Produktionsfaktoren jeweils um den Faktor $\lambda$ vervielfacht werden, d. h. $\lambda r_1$ und $\lambda r_2$:
X_i(\lambda r_1, \lambda r_2)=(\lambda r_1)^\alpha \cdot (\lambda r_2)^\beta
Daraus folgt:
X_i(\lambda r_1, \lambda r_2)=\lambda^{\alpha} r_1^\alpha \cdot \lambda^{\beta} r_2^\beta \\=\lambda^{(\alpha+\beta)}\cdot r_1^\alpha \cdot r_2^\beta \\ =\lambda^{(\alpha+\beta)}\cdot X_i(r_1,r_2)D. h. eine Vervielfachung der Inputs um den Faktor $\lambda$, vervielfacht den Output um den Faktor $\lambda^{(\alpha+\beta)}$.
X_i(\lambda r_1, \lambda r_2)= \lambda^{(\alpha+\beta)}\cdot X_i(r_1,r_2)mit $(\alpha+\beta)$ als Homogenitätsgrad der Produktionstechnologie. Wenn $(\alpha+\beta)=1$ dann wird von einer Produktionstechnologie mit Homogenitätsgrad 1 gesprochen bzw. eine Produktionstechnologie mit proportionalen Skalenerträgen. Wenn $0<(\alpha+\beta)<1$ dann wird von einer Produktionstechnologie mit abnehmenden Skalenerträgen gesprochen. Wenn $(\alpha+\beta)>1$ dann wird von einer Produktionstechnologie mit zunehmenden Skalenerträgen gesprochen.
